现金三公
在这些理论之间有明显的相似性。每一种理论都有把学科分解成学习序列的倾向。在序列中，Schoenfeld和Dubinsky试图确定分解的内容和学生头脑中的认知结构变化之间的紧密程度(数学知识结构与学生头脑中的认知结构之间的对应关系)。特别地，Dubinsky的公式证明是特别适合于函数概念的，因为函数是(输入—输
出)过程和数学对象的统一体，对象必须作为概念实体来对待。所以把函数过程浓缩为数学对象的技术似乎和函数概念的发展完全匹配。Dubinsky通过使学生集中到用合适的语言(它允许把函数或它们的符号用作对象)编制函数程序的过程上，用浓缩过程取得了某种成功。
但此中出现了一个大问题，Dubinsky(1988)是这样说明的：
如果是这种情况，那么就很难描绘如何用一般术语进行学习。知识的状态能够观察到，但是从一种状态到另一种状态的实际运动就不能了。如Sinclaire(1987)所述，学习发生，但是当观察其发展时，必须满足于在较高的但是固定的状态上去看它，由于它的复杂性不可能去观察连续的发展。只可能去推测学生通过在其口头或书面交流中唤醒的概念映象的概念化的认知结构。所以我们怎么才能够确切地知道学生有了和函数定义相关的、与过程性函数概念相反的抽象函数概念呢?过程性函数概念能够处理在像特定函数的编程这样的给定情境中的所有任务。
发展Gagne式的等级制度和发生分解的“完善结构”的主要问题是它们能够搞得非常复杂。对于甚至是最简单的任务必须掌握的先决条件的清单可能搞得非常庞大；课题搞得过分原子化—全部似乎比它的部分之和大得多。在Gagne的等级制度中，各分步之间是相互割裂的，在许多情况下似乎都是孤立技巧的汇总。简言之，虽然有水准基点，从它能够测量一个人的函数知识，但是内容描绘的是其知识的特定状态。虽然一种特殊词汇似乎正按Schoenfeld等和Dubinsky的方式发展来用更一般的术语讨论学习，但是注意力主要集中在情节学习和给学生对函数概念有困难的个别细节处理上。我们很少知道为什么产生这些问题，我们也不知道如何保证消除毛病。
下面看对函数概念内涵要素的理解中的基本问题。
三、变量
全面理解变量的内涵并不容易。虽然它是数学中一切抽象事物的建筑材料，但是许多学生不知道它的意义。例如，下列情况大家可能经历过：先让学生解一个以x为变量的方程；再让学生去解只改变变量名称（如以y为变量名）的“新”方程。尽管在学生面前有原问题的解，但还是会有相当数量的学生仍然从头开始，甚至部分高中学生也有类似的情况。这些学生把变量名字的改变看作产生了一个全新的问题，先前的解答过程并迁移到当前的情景中来。为什么没有出现迁移，特别是对“变量”这种具有一般意义的基本思想方法?这是一个非常值得研究的问题。请大家考虑一下，为什么变量概念的理解存在如此大的困难？
在教学实践中，教师常常对变量概念的理解困难估计不足，有的老师甚至从来就没有考虑过这个问题，实际做法是教师仅仅给出变量（因变量、自变量等）这个词汇，仅此而已，至于学生脑子中的变量概念会是怎样的，通过定义能否使变量概念得到发展，这些很少顾及。大家不妨以“你认为什么叫变量”为题，问问学生。实际上，变量概念的学习并不象我们在黑板上写定义这么简单。“学生考虑作概念的例子的一组数学对象不必和由定义确定的一组数学对象一样”，更加严重的问题是，对“变量”这样抽象的概念如果得不到恰当的具体例子的支持，学生将无法真正理解它。对于这一点，已经理解了变量概念的老师似乎很少注意它。
教师常常被“自动化”阻塞了顿悟的通道，“掌握一种活动如此完善以至如何和为什么的问题（学生尚不理解它们）不再问，不再把它理解为有意义和有关系的问题了”。教师往往按照自己的理解水平进行教学。
例如，三角函数中的任意角概念，许多老师可能会想，我用一个教具，顺时针转转再逆时针转转，学生就理解了什么叫“任意角”，没有遇到什么困难呀。真的这样吗？我们认为，是否真正理解，还是要看学生能否在后续学习中自觉地应用“任意角”这个概念。大家可以回忆一下，学生掌握三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数等内容时所出现的问题到底是怎样产生的。（书中42页到43页）
四、函数、图象和形象化
虽然大多数学生能够作简单的图象，但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当成函数的一个有机组成部分来对待。更有甚者，他们可能错误地对待他们自己画的函数图象上的数据。实际上，数学学习中，“画个直观图形”是非常重要的。例如：
角为100°，34°，46°的三角形的外接圆半径为8．5cm，求内切圆的半径。
解这个题目时，画出草图对解答会有很大帮助。但许多学生草图画得不正确，而且再也不用它。
另一些问题：求过点(5，5)与圆相切的切线方程；
求直线切于x=3时的a和b的值；
解不等式：，等等。
这些问题的解答，相当多的学生都用解析方法，而没有把它们与图形表示联系起来。数与形式数学的两方面，有了直角坐标系以后，数与形统一了，因此，用图象方法看函数的许多方面（各种性质）似乎很自然。但是对学生来说情况并非如此。他们好像只靠解析地处理信息和解练习题，而不靠形象的方法。所以，要使学生把函数与图象自觉地联系起来，把函数的图象作为函数概念的一个有机组成部分并不容易。实际上，学生的形象化意识（数形结合思想）的形成需要很长的过程。
教学实践表明，许多学生不会用图象来解释问题，而且即使他们画出了图象，也不能正确地解释图象，即他们不理解图象描绘的自变量和因变量之间的关系。例如，对于不等式|x|＞1的解，学生能够用实数轴上的图形（一维）加以解释，但要求他们在直角坐标系内用图形来表示，很多学生会感到困难。另一个例子是，解一元二次不等式，很多学生习惯于转化为，然后按照两个因式同号的方法来转化。再如，学生很不习惯把函数变换等与图形变换（如轴对称、中心对称等）联系起来。
中学的函数概念发展需要形象化的支持，发展学生数形结合的能力是发展函数概念、获得对函数概念的深刻理解的重要途径，作为代数的函数概念与作为几何的函数图像的紧密结合也是发展关于函数的认知结构的主要途径。通过强调函数的形象表示可以减少函数概念的学习困难。另外，直观和形象化技能也是可以训练的。
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